STATISTIKA

STATISTIKA

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan, menyusun, menyajikan, dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter

Populasi

Populasi adalah himpunan lengkap yang memuat seluruh objek.

Jika seseorang hanya mengambil objek (orang, benda dan objek lainnya) yang diperlukan sebagai data (beserta karakteristiknya), maka sebagian objek itu dinamakan sampel.

Jenis –jenis populasi :

A.    Berdsarkan jumlahnya :

1.      Populasi terbatas -> populasi yang dapat dihitung

2.      Populasi tak terbatas -> sumber data yang tidak dapat ditentukan batasnya

B.      Berdsarkan sifatnya :

1.      Populasi homogen -> sumber data yang unsur-unsurnya memiliki sifat yang sama

2.      Populasi heterogen -> sumber data yang unsur-unsurnya memiliki sifat atau kondisi yang berbeda-beda

Teknik sampling -> Sejumlah subjek/objek yang terpilih untuk mewakili populasi. Dilakukan dengan cara melalakukan sensus. Dengan mengambil data sebagian dari populasi (sampel), diharapkan hasil yang diperoleh  akan memberikan gambaran yang sesuai dengan sifat populasi yang bersangkutan.

Ada dua cara pengambilan sampel, yaitu cara acak dan bukan acak

Acak -> dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel

Bukan acak -> dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel

Jenis random sampling :

                                 

1. Simple random sampling (dipengaruhui oleh populasi homogen atau relatif homogen)

2. stratified random sampling (populasi homogen atau relatif homogen)

                                         =    merupakan perkiraan

3. multistage random sampling (sampling dimana pemilihan elemen anggota semple dilakukan secara bertahap (by stages))              

                     

4. cluster random sampling (sampling dimana pemilihan elemen pertama dipilih secara kecil disebut klaster)

5. systematic random sampling (sampling dimana pemilihan elemen pertama dipilih secara acak)

cara menggambil sampel :

1. Dengan cara ordinal          (daftar secara berurutan)        

2. Dengan cara undian          (memberikan nomor pada setiap unit sampling)

  3. Menggunakan tabel bilangan acak

  4. Menggunakan kalkulator

         Variabel acak diskrit (memiliki sejumlah nilai yang dapa dihitung atau merupakan bilangan bulat)

Variabel acak

        Variabel acak kontinue (memiliki nilai yang tak berhingga atau merupakan bilangan-bilangan yang tidak bulat)

Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar berisi seluruh hasil dari suatu percobaan dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasil tersebut. Dibedakan menjadi 2 yaitu :

1.      Distribusi probabilitas diskrit -> analog dengan distribusi frekuensi relatif

2.      Distribusi probabilitas kontinue -> jika pada definisi probabilitas diskrit nilai x diperluas menjadi suatu himpunan nilai-nilai kontinue  maka distibusi probabilitasnya berkembang menjadi distribusi probabilitas kontinue

Distribusi binomial  merupakan suatu percobaan yang biasanya dilakukan dengan beberapa usaha, yaitu sukses (S) dan gagal (G).

Peluan sukses dari suatu percobaan yang dinyatakan dalam P(S) sebesar p, sedangkan peluan gagal dinyatakan dengan P(G) sebesar q = 1 – p.

Jika percobaan itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali pengulangan itu kejadian S terjadi sebanyak x kali, maka sisanya yaitu (n- x) kali kejadian adalah G. Karena setiap pengulangan bersifat bebas, maka P(S) = p dan P(G) = 1- p memiliki nilai tetap untuk setiap pengulan percobaan.. Dari percobaan diatas dapat dirumuskan sebagai berikut

P(S...S G...G) =  

Karena banyak susunan keseluruhan peristiwa sukses (S) terjadi dalam  cara, maka peluang bahwa kejadian S terjadi dalam x kali adalah :

P(X = x) =

DISTRIBUSI NORMAL

a.      Bentuk distribusi normal

Y =                keterangan :

                                                                       = nilai tengah

                                                                       = simpangan baku

                                                                       = 3,14

                                                                      e = 2,71

luas daerah yang dibatasi oleh kurva dari persamaan diatas dan sumbu X sama dengan 1. Karena itu, luas daerah dibawah kurva diantara X = a dan X = b dengan a < b dinyatakan dengan P{a < x < b}

b.      Bentuk distribusi normal standart

Dengan menggunakan substitusi Z =  maka persamaannya berubah menjadi :

Y =              

Dari persamaan diatas dikatakan z terdistribusi normal dengan nilai tengan 0 dan varians 1

c.       Daerah dibawah kurva normal standart

Karakteristik kurva distribusi normal antara lain sebagai berikut :

1.      Berbentuk lonceng, memiliki puncak padan tengah distribusi

2.      Rata-rata, median, dan modus dari distribusi bernilai sama dan terletak pada puncak

3.      Distribusi probabilitas normal simetris terhadap rata- ratanya.

4.      Kurva normal menurun secara perlahan dikedua sisanya, namun kurva tidak pernah menyentuh sumbu x

PENGUJIAN HIPOTESIS

1.      Hipotesis statastik

 suatu pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih variabel/populasi

2.      Hipotesis nol dan Hipotesis alternatif

a. Hipotesis nol -> hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak yang dilambangkan dengan Ho

b. Hipotesis alternatif -> hipotesis yang merupakan lawan dari hipotesis nol, yang dilambangkan H1

c. Uji hipotesis -> prosedur-prosedur yang memungkinkan kita apakah menerima atau menolak hipotesis atau menentukan apakah sampel-sampel yang diamati berbeda secara nyata dari hasil-hasil yang diharapkan

d. Kesalahan jenis I dan II -> penolakan atau penerimaan suatu hipotesis dapat membawa pada dua jenis kesalahan, yaitu :

a.                   Kesalahan jenis I adalah kesalahan yang terjaadi apabila H ditolak    padahalah H benar.

b.                   Kesalah jenis II adalah kesalahan yang terjadi apabila H diterima padahal H salah.

3.      Uji yang meliputi distribusi normal

Adalah salah satu jeni uji statistika yang uji hipotesisnya didekati dengan menggunakan distribusi normal. Uji-z lebih tepat digunakan untuk menguji data dengan data dengan sampel berukuran besar, yaitu sebanyak 30 atau lebih.

Rumus uji z adalah   Zh =

4.      Taraf nyata dan daerah kritis

Taraf nyata dilambangkan dengan α. Biasanya taraf nyata ditentukan oleh peneliti sebelum melakukan penarikan sampel. Nilai taraf nyata yang sering digunakan dalam pengujian hipotesis adalah 0,05 atau 0,01.

5.      Uji satu arah dan uji dua arah

Nilai ekstrim dari statistik atau nilai  z  dari kedua sisi atau kedu ujung grafik distribusi. Pengujian yang demikian disebut pengujuan dua arah

Apabila kita menguji hipotesis bahwa hasil perlakuan yang satu adalah lebih baik dari hasil perlakuan yang lain. Daerah kritis dari pengujian seperti itu merupakan daerah di satu sisi distribusi dengan luas daerah sebesar tarah nyata. Maka pengujian tersebut disebut uji satu arah

6.      Prosedur pengujian hipotesis

a.   Merumuskan Ho dan H1.

b.   Memilih statik uji yang tepat berdasarkan distribusi sampling dari statistik uji tersebut

c.   Meentukan taraf nyata α

d.   Melakukan perhitungan untuk menentukan nilai statisti uji

e.   Menentukan daerah kritis

f.   Membuat keputusan, apakah Ho diterima atau ditolak

7.      Uji yang meliputi distribusi binomial - > uji hipotesis tentang suatu proporsi dari populasi.

A.    Ciri-ciri binomial :

-setiap percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan ( sukses dan gagal)

-setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengendalian

-probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan P, sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan Q, dengan Q = 1 – P

-jumlah percobaan dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

B.      hipotesis uji binomial

Ho = probabilitas observasi ketegori I = probabilitas observasi kategori II = 0,5

H1 = probabilitas observasi kategori I  probabilitas observasi katagori II  0,5

C.     Uji statistik pada uji binomial

P(x) =              dimana        =

          Keterangan :

                        P(x)     = probabilitas sukses sebanyak x

n          = jumlah percobaan

P          = probabilitas sukses

Q         = probabilitas gagal

x          = jumlah sukses yang dicari probabilitasnya

D.    Kriteria uji binomial

Ho ditolak jika p(x) < α

Ho diterima jika p(x) ≥ α dengan α = taraf kesalahan